Bài do Claude viết, tôi chỉ prompt chi tiết hơn bình thường một chút, nhưng các prompt vẫn chỉ có nhiệm vụ gợi ý!

---

Neutrino là hạt cơ bản, tức là một loại viên gạch gốc của gốc, không thể nào chia nhỏ thêm được nữa. Theo lẽ thường, nó phải là một bản thể theo nghĩa kinh điển nhất: bản thể cái tự tồn tại, mang các thuộc tính mà không phải thuộc tính của cái gì khác. Thế nhưng một neutrino electron sinh ra bên trong lõi Mặt Trời, khi chạm đến Trái Đất có thể không còn là neutrino electron nữa. Vậy nó đã đổi căn tính (identity) chưa, có còn đống nhất (identity) với chính nó thủa ban đầu hay không? Vẫn con vật ấy thay áo mới, hay đã trở thành một con vật khác?

I. Con ma đổi vị

Ngày 4 tháng 12 năm 1930, Wolfgang Pauli gửi một lá thư đến hội nghị vật lý ở Tübingen, mở đầu bằng câu “Kính gửi các quý bà quý ông phóng xạ” (Liebe Radioaktive Damen und Herren). Ông không đến dự được, hình như vì bận một buổi khiêu vũ ở Zürich. Trong thư, Pauli đề xuất một “phương thuốc tuyệt vọng”: có một hạt trung hòa điện, rất nhẹ, thoát ra từ phân rã beta (beta decay) và lặng lẽ mang theo phần năng lượng mà các phép đo vật lý thấy thiếu hụt nhưng chưa biết nguyên nhân. Không có nó thì định luật bảo toàn năng lượng (conservation of energy) coi như vứt đi.

Hạt ấy về sau được Fermi gọi là neutrino, tiếng Ý tức là “cậu bé trung hòa”. Tương truyền Pauli còn than mình đã làm một việc tồi tệ: đề xuất một hạt không ai đo được. Phải đến năm 1956, Cowan và Reines mới “bắt” được nó bên cạnh một lò phản ứng hạt nhân (nuclear reactor).

Neutrino khó “bắt” (detect được) vì nó gần như chả tương tác với cái gì. Nó chỉ chịu lực yếu (weak interaction) và lực hấp dẫn. Mỗi giây có khoảng 6×10¹⁰ neutrino từ Mặt Trời xuyên qua mỗi xăng-ti-mét vuông da thịt chúng ta, xuyên qua cả Trái Đất, rồi đi tiếp như chưa có chuyện gì.

✻✻✻

Neutrino có ba “vị” (flavor): neutrino electron (ν_e), neutrino muon (ν_μ) và neutrino tau (ν_τ). Ba vị này (electron, muon và tau) được gọi theo tên những người bạn tích điện sinh ra cùng neutrino, hoặc được tạo ra khi hạt bị va chạm. Chữ flavor vốn là trò đùa của dân vật lý (chuyện kể rằng Gell-Mann nghĩ ra khi đi ngang một tiệm kem), và tiếng Việt dịch là “vị”, như vị dâu, vị sô-cô-la.

Thế rồi người ta thấy một chuyện lạ. Neutrino lúc sinh ra thì nó có vị này, sau khi bay một quãng đủ dài, đến máy dò (detector) nó lại hiện ra với vị khác. Năm 1968, thí nghiệm của Davis ở mỏ Homestake chỉ đếm được khoảng một phần ba số neutrino electron mà lý thuyết dự báo số neutrino dì đến Trái đất từ Mặt Trời. Năm 1998, máy dò Super-Kamiokande ở Nhật thấy neutrino muon từ khí quyển bay xuyên Trái Đất ở mặt kia lên máy dò ở mặt này bị hụt so với neutrino rơi thẳng từ trên đầu xuống. Đến 2001–2002, máy dò SNO ở Canada đếm đủ tổng số neutrino đến từ Mặt Trời, có điều nhiều hạt đã đổi vị dọc đường. Năm 2015, Kajita và McDonald nhận Nobel vì chuyện này.

Hiện tượng ấy gọi là dao động neutrino (neutrino oscillation). Nói nôm na, nó diễn ra theo ba bước:

1. Lúc sinh ra, neutrino có vị xác định nhưng không có khối lượng xác định. Nó là một chồng chập (superposition), tôi vẫn thích dịch là “trùng điệp”, của ba trạng thái khối lượng ν₁, ν₂, ν₃.
2. Trên đường bay, ba thành phần ấy quay pha với nhịp hơi khác nhau vì khối lượng khác nhau, giống ba người chạy cùng xuất phát với ba tốc độ chênh nhau chút ít. Càng đi xa, đội hình càng lệch.
3. Đến máy dò, tương tác yếu lại “hỏi” neutrino bằng ngôn ngữ vị. Đội hình đã lệch nên câu trả lời có thể là một vị khác.

[chữ cái ν, trong bảng chữ cái Hy Lạp, đọc là nu (nuy). Nó được dùng để ký hiệu cho hạt neutrino.

(ν_e) chữ e đọc là e, ký hiệu của hạt electorn, nên cặp này đọc là nuy-e, tức là neutrino electron

(ν_μ): chữ μ là chữ mu, đọc là muy, đại diện cho hạt muon cặp này đọc là nuy-muy, tức là neutrino muon

(ν_τ) chữ τ là chữ tau, đọc là tau hoặc tô, đại diện cho hạt tau, cặp này đọc là nuy-tau, tức là neutrino tau

ν₁, ν₂, ν₃. : ở đây có thể đọc nuy 1, nuy 2, nuy 3, ứng với 3 khối lượng.

Hạt neutrino hơi giống Trinity, một bản thể với 3 ngôi vị, nếu nhìn từ thần học Ki tô giáo. Nhưng đó là câu chuyện khác, ở đây neutrino của vật lý thì phải là duy vật.]

Neutrino không “quyết định” đổi vị, và cũng chả có cú nhảy lượng tử nào. Trạng thái lượng tử chỉ tiến hóa liên tục, trơn tru, còn tổng xác suất của ba vị luôn bằng một. Hiện tượng này đồng thời là bằng chứng neutrino có khối lượng, điều mà Mô hình Chuẩn (Standard Model) ban đầu không cho phép.

✻✻✻

Câu hỏi triết học nảy ra từ đây. Neutrino là hạt cơ bản, tức là một loại viên gạch gốc của gốc, không thể nào chia nhỏ thêm được nữa. Theo lẽ thường, nó phải là một bản thể theo nghĩa kinh điển nhất: bản thể cái tự tồn tại, mang các thuộc tính mà không phải thuộc tính của cái gì khác. Thế nhưng một neutrino electron sinh ra bên trong lõi Mặt Trời, khi chạm đến Trái Đất có thể không còn là neutrino electron nữa. Vậy nó đã đổi căn tính (identity) chưa, có còn đống nhất (identity) với chính nó thủa ban đầu hay không? Vẫn con vật ấy thay áo mới, hay đã trở thành một con vật khác?

II. Bản thể, thuộc tính, phẩm tính, căn tính

Chữ bản thể (本體) có hai chữ: bản là gốc, thể là thân. Người Hy Lạp gọi là ousia (οὐσία), gốc từ động từ “là” (einai), tức “cái đang-là”. Người La Tinh dịch thành substantia, nghĩa đen là “cái đứng ở dưới”. Ba ngôn ngữ, ba hình ảnh: cái gốc, sự là, và cái nền.

Aristotle dựng bộ khung trong sách Phạm trù (Categories). Bản thể là chủ thể để mọi thứ khác được nói về nó, còn nó thì không được nói về cái gì khác. Socrates là bản thể; còn “nhợt nhạt”, “đang ngồi”, “cao 1,7 m” là những cái được nói về Socrates. Aristotle chia thành hai tầng. Bản thể thứ nhất là cá thể cụ thể (ổng Socrates này, cái con ngựa này). Bản thể thứ hai là loài và giống (loài người, các giống vật).

Thuộc tính (attribute, property) là cái được dùng để thuật lại về bản thể. Câu hỏi để phân loại rất đời thường: mất cái đó thì vật còn là nó không? Mất đi mà nó vẫn là nó thì đó là thuộc tính ngẫu nhiên (accidens): Socrates cạo trọc vẫn là Socrates. Mất đi mà nó thôi còn là nó thì đó là yếu tính (essence), tức cái làm “một vật” thuộc về “loại của nó”: bỏ yếu tính “là động vật” đi thì “con người” không còn là con người. Ở giữa hai thái cực này là thuộc tính riêng (proprium), như “biết cười” là thuộc tính riêng của người.

Phẩm tính (quality, ποιότης, qualitas) là một trong mười phạm trù của Aristotle, trả lời câu “như thế nào”: trắng, nóng, ngọt. Aristotle tách hai kiểu biến đổi. Socrates từ da “nhợt nhạt” thành “rám nắng” là biến đổi phẩm tính (alloiōsis). Socrates qua đời là sinh diệt (genesis): bản thể mất đi. Locke về sau tách ra thành phẩm tính sơ cấp (hình, khối, chuyển động, nằm trong vật) với phẩm tính thứ cấp (màu, mùi, vị, nằm ở cảm giác người tiếp nhận). Các bạn nhớ giúp chữ “vị” ở đây, lát nữa ta quay lại.

Căn tính, hay đồng nhất (identity, gốc Latin idem, “cùng một”), là điều kiện để một vật là chính nó qua thời gian. Bài toán kinh điển: con tàu của Theseus, nó cũ dần đi, phải thay dần từng tấm ván, thay hết rồi thì nó có còn là chính con tàu cũ ấy không? Leibniz đưa ra nguyên lý đồng nhất của những cái không thể phân biệt (identity of indiscernibles): hai vật giống nhau ở mọi thuộc tính thì là một. Kripke đề xuất đồng nhất theo nguồn gốc: chiếc bàn này là chính nó vì làm từ khúc gỗ này.

Con đường bàn luận về bản thể, từ Aristotle đến hôm nay, không thẳng. Descartes coi bản thể là cái chỉ cần chính nó để tồn tại. Spinoza bảo chỉ có một bản thể là Thần hay Tự nhiên, Deus sive Natura (“God or Nature”), mọi vật khác chỉ là các dạng thức (mode), như sóng là dạng thức của biển. Hume bóc hết cảm giác ra thì thấy chả còn gì, “chiếc bàn” chỉ là một bó tri giác (bundle of perceptions). Kant thì cho rằng ý niệm “một vật bền vững mang các thay đổi” là cái khuôn trí óc ta áp lên kinh nghiệm, chứ không phải thứ mắt ta nhìn thấy.

III. Thể và Dụng

Chữ Thể trong “bản thể” chính là chữ Thể (體) trong cặp Thể–Dụng (體用, tǐ–yòng) của triết học Trung Hoa. Thể là thân, là gốc, trả lời câu “thực chất nó là gì”. Dụng (用) là dùng, là tác dụng, trả lời câu “nó hiện ra và làm việc thế nào”.

Cặp phạm trù này lớn lên trong Phật giáo Trung Hoa rồi lên đỉnh trong Lý học Tống–Minh. Huệ Năng trong Pháp Bảo Đàn Kinh nói “Định là Thể của Tuệ, Tuệ là Dụng của Định” (定是慧體，慧是定用). Trình Di đúc thành câu “Thể Dụng nhất nguyên, hiển vi vô gian” (體用一源，顯微無間): Thể và Dụng chung một nguồn, giữa cái hiện và cái ẩn không có khe hở. Chu Hy dùng nó để nói Tính là Thể, Tình là Dụng.

Có ba điểm cần lưu ý:

1. Không có Thể nào đứng trơ trọi mà không hiện thành Dụng, và không có Dụng nào tự sinh mà không dựa vào Thể.
2. Thể vô hình, ta biết Thể nhờ nhìn Dụng. Ai thấy được “tính nước” đâu, chỉ thấy sóng, dòng chảy, hơi bốc lên.
3. Thể–Dụng là quan hệ tương đối theo tầng. Cái là Thể ở tầng này có thể là Dụng ở tầng khác.

Đại Thừa Khởi Tín Luận còn chen một chữ vào giữa thành Thể–Tướng–Dụng (體相用): Thể là bản chất, Tướng là hình thái, cấu trúc, Dụng là tác dụng. Truyền thống Hoa Nghiêm có câu “bất biến tùy duyên, tùy duyên bất biến” (不變隨緣，隨緣不變): cái gốc không đổi mà biểu hiện theo duyên, biểu hiện theo duyên mà gốc vẫn không đổi.

(Mở ngoặc, cuối thế kỷ 19, Trương Chi Động nêu khẩu hiệu “Trung học vi thể, Tây học vi dụng”: lấy học thuật Trung Hoa làm gốc, học phương Tây làm công cụ. Nghiêm Phục, người mà sĩ phu Duy Tân bên ta đầu thế kỷ 20 đọc qua Tân thư, chê rằng thân bò thì có cái dụng chở nặng, thân ngựa thì có cái dụng đi xa, chưa nghe ai lấy bò làm thể mà lấy ngựa làm dụng. Tức là Thể với Dụng không lắp ghép được như bánh xe. Ý này sẽ có ích khi nói đến neutrino.)

IV. Nhìn từ triết học

Trước khi trả lời câu hỏi đặt ra ở phần đầu bài, cần đặt neutrino lên bàn cân của vật lý.

Năm 1939, Eugene Wigner chứng minh rằng mỗi hạt cơ bản ứng với một biểu diễn bất khả quy (irreducible representation) của nhóm Poincaré (Poincaré group), tức nhóm các phép đổi góc nhìn giữa những người quan sát quán tính: dời chỗ, quay, chuyển sang một hệ đang chạy đều. Mỗi biểu diễn ấy được gọi tên bằng đúng hai con số, khối lượng (m) và spin (s). Mọi người quan sát (observer), dù đứng yên hay bay vụt qua, đều cùng đồng ý với nhau cả về m và s; còn động lượng và hướng spin thì mỗi người thấy một khác.

Tức là ta có một phép phân biệt “cái gì” với “như thế nào” đã được toán học hóa, rất gần cặp yếu tính và thuộc tính ngẫu nhiên của Aristotle. Chính xác hơn, nó định nghĩa bản thể thứ hai (loài), vì hai electron cùng (m, s) chả có gì để phân biệt nhau.

Đặt neutrino vào khung ấy thì nghịch lý hiện ra ngay. Cái có (m, s) xác định, tức ứng viên bản thể, là ν₁, ν₂, ν₃. Còn cái ta sinh ra và đo được là ν_e, ν_μ, ν_τ, vốn không có khối lượng xác định.

Neutrino electron không thuộc riêng về “một biểu diễn” nào, nó nằm vắt qua cả ba. Nói theo Wigner, “neutrino electron” không phải một hạt theo nghĩa chặt. Nó là một vai (role).

1. Có đảo lộn triết học bản thể không?

Tôi nghĩ là không lật đổ, nhưng buộc phải tinh luyện ở ba chỗ.

• Vị không phải thuộc tính ngẫu nhiên. Accidens của Aristotle là thứ gỡ ra được mà bản thể vẫn nguyên, như cái áo. Vị thì không phải thứ khoác thêm vào; nó là hình chiếu của cùng một vectơ trạng thái lên một hệ trục khác. Hơn nữa khối lượng và vị không đồng thời xác định được: rõ cái này thì nhòe cái kia.
• Dao động rơi vào khe giữa hai kiểu biến đổi của Aristotle. Loại thì đổi, nghe như sinh diệt; nhưng phổ khối lượng giữ nguyên, nghe như biến đổi phẩm tính. Có lẽ đây là một phạm trù thứ ba: một trạng thái tiến hóa trong một không gian nội tại cố định.
• Căn tính theo nguồn gốc kiểu Kripke thất bại, vì sinh ra cùng electron không bảo đảm đến máy dò vẫn là neutrino electron. Căn tính theo tiến hóa liên tục của trạng thái thì giữ được, nhưng không còn gắn vào nhãn vị nào. Con tàu Theseus ở đây chả thay tấm ván nào; nó chỉ đổi cách người trên bờ gọi tên nó.

Đến đây nhắc lại chữ “vị”. Tiếng Việt có hai chữ vị: vị 味 là mùi vị, và vị 位 là ngôi vị, vị trí. Flavor được dịch theo chữ thứ nhất, như một phẩm tính nằm sẵn trong que kem. Nhưng neutrino cho thấy nó gần chữ thứ hai hơn: là cái ghế hạt ngồi khi gặp electron, muon hay tau. Nhãn “neutrino electron” là loại của tương tác, không phải loại tự nhiên của bản thể. Theo cách chia của Locke, vị hóa ra là phẩm tính thứ cấp, chỉ hiện ra ở chỗ gặp nhau giữa vật và người đo.

2. Hay nó làm sáng rõ triết học bản thể?

Có lẽ đúng hơn là vậy. Cơ học lượng tử đã dạy từ lâu rằng một electron đang có spin xác định theo trục z thì spin theo trục x là bất định. Dao động neutrino không mới về nguyên lý. Cái mới là quy mô, hiệu ứng lượng tử kéo dài từ vài trăm cây số đến trăm triệu cây số, và cái bị trùng điệp lại là nhãn loại mà ta từng nghĩ là cố hữu.

Nó soi sáng mấy chỗ triết học phương Tây cãi nhau hơn hai nghìn năm. Cách chia bản thể thứ nhất và thứ hai của Aristotle hóa ra rất chuẩn: vật lý định nghĩa được loài (m, s) nhưng không định danh được cá thể. Hume đúng một nửa: bóc hết thuộc tính đo được ra thì chả còn “viên bi” nào bên dưới. Nhưng cũng không phải trống rỗng. Còn lại một cấu trúc gồm phổ khối lượng, các góc trộn và tính unita của sự tiến hóa. Đấy là tinh thần của thuyết hiện thực cấu trúc (structural realism), cho rằng cái bền nhất ta biết về thế giới là cấu trúc chứ không phải đồ vật.

3. Thể–Dụng củng cố, làm rõ hay phản bác?

Theo tôi là củng cố và làm rõ, kèm một chỗ phải sửa.

Phép ánh xạ khá gọn. Thể là ba trạng thái khối lượng, cái lan truyền tự do. Dụng là ba vị, cái neutrino làm ở đỉnh tương tác yếu. Thể Dụng vô gian: đây là cùng một vectơ trạng thái, ma trận trộn PMNS chỉ đổi hệ trục. Biết Thể nhờ Dụng: hiệu bình phương khối lượng Δm² được suy từ nhịp đổi vị, chưa ai cân trực tiếp. Bất biến tùy duyên: trong lõi Mặt Trời đặc quánh electron, hiệu ứng MSW làm neutrino đổi vị khác hẳn trong chân không. Các cụ bảo gần mực thì đen, gần đèn thì sáng, có điều mực không đổi được cái Thể. Dùng bộ ba của Khởi Tín Luận thì Thể là phổ khối lượng, Tướng là ma trận trộn (cách Thể được dệt thành các vị), Dụng là xác suất đổi vị hiện ra lúc đo.

Cặp Thể–Dụng diễn tả chuyện này gọn hơn cặp bản thể–thuộc tính ngẫu nhiên, vì nó không coi biểu hiện là cái áo khoác ngoài. Dụng không gỡ khỏi Thể được, đúng như vị không gỡ khỏi neutrino được, và đúng như Nghiêm Phục nói, không lấy bò làm thể mà ngựa làm dụng. Câu hỏi “neutrino có đổi bản thể không” thế là tan: Thể không đổi, Dụng đổi theo đường đi.

Chỗ phải sửa: về toán, hệ trục khối lượng và hệ trục vị ngang quyền nhau. Gọi khối lượng là Thể chỉ đúng trong ngữ cảnh lan truyền; trong ngữ cảnh tương tác, vị mới là trạng thái “tự nhiên”. May là Thể–Dụng vốn tương đối theo tầng, như Định với Tuệ của Huệ Năng soi vào nhau. Nó cũng là lời nhắc: một khung đủ rộng thì ánh xạ được vào gần như mọi cặp ẩn–hiện, và Thể–Dụng của Chu Hy còn chở tải đạo đức mà neutrino chả có. Ta chỉ mượn cái cấu trúc quan hệ.

✻✻✻

Pauli lo lắng, rằng mình đã đề xuất một hạt không ai đo được. Gần một thế kỷ sau, hóa ra cái mà ta đo được, tức vị, lại không phải cái neutrino là; còn cái nó là, tức khối lượng, thì vẫn chưa ai cân được. Có lẽ Pauli đã đúng, theo một cách ông không ngờ tới.

***

Phụ lục

Các số liệu dưới đây là giá trị gần đúng, viết từ hiểu biết nền chứ chưa đối chiếu nguồn; cần kiểm lại với bảng của Particle Data Group trước khi đăng.

A. Lý thuyết và các mốc tìm ra neutrino

Năm	Mốc
1930	Pauli đề xuất một hạt trung hòa, rất nhẹ, để cứu bảo toàn năng lượng trong phân rã beta
1934	Fermi xây dựng lý thuyết phân rã beta, dùng tên “neutrino”
1956	Cowan và Reines phát hiện phản neutrino electron tại lò phản ứng Savannah River
1957	Pontecorvo nêu ý tưởng dao động (ban đầu giữa neutrino và phản neutrino)
1962	Lederman, Schwartz, Steinberger phát hiện neutrino muon; Maki, Nakagawa, Sakata đề xuất trộn vị
1968	Davis (Homestake) đo thấy thiếu hụt neutrino Mặt Trời
1998	Super-Kamiokande công bố bằng chứng dao động của neutrino khí quyển
2000	DONUT (Fermilab) phát hiện neutrino tau
2001–2002	SNO xác nhận neutrino Mặt Trời đổi vị, tổng số khớp lý thuyết
2012	Daya Bay và RENO đo được góc trộn θ₁₃ khác 0
2015	Nobel Vật lý cho Kajita và McDonald
2025	KATRIN đặt giới hạn trên khối lượng neutrino khoảng 0,45 eV

B. Các loại neutrino

Vị	Lepton đi kèm	Phát hiện	Nguồn tự nhiên tiêu biểu
ν_e (neutrino electron)	electron	1956 (dạng phản hạt)	Mặt Trời, lò phản ứng, phân rã beta
ν_μ (neutrino muon)	muon	1962	Tia vũ trụ trong khí quyển, máy gia tốc
ν_τ (neutrino tau)	tau	2000	Hiếm; chủ yếu từ dao động ν_μ → ν_τ

Mỗi vị có phản hạt tương ứng. Song song với ba vị là ba trạng thái khối lượng ν₁, ν₂, ν₃. Ba câu hỏi còn mở: khối lượng tuyệt đối, thứ tự khối lượng (mass ordering, thường hay đảo), và neutrino là hạt Dirac hay Majorana (tức có trùng với phản hạt của chính nó không). Neutrino “vô sinh” (sterile neutrino), không chịu cả lực yếu, vẫn là giả thuyết.

C. Các phương trình liên quan

Phân rã beta của neutron:

Trộn vị: trạng thái vị là chồng chập của ba trạng thái khối lượng qua ma trận unita PMNS (U, cỡ 3×3, gồm ba góc trộn θ₁₂ ≈ 33°, θ₂₃ ≈ 45°, θ₁₃ ≈ 8,5° và một pha vi phạm CP δ):

Lan truyền: mỗi trạng thái khối lượng quay pha với nhịp riêng (xấp xỉ tương đối tính cực đoan, bỏ pha chung):

Xác suất chuyển vị từ α sang β sau quãng đường L, năng lượng E:

Trường hợp hai vị (Δm² tính bằng eV², L bằng km, E bằng GeV). Thừa số sin²2θ là biên độ, thừa số sau là nhịp theo L/E:

Bảo toàn xác suất (tiến hóa unita):

Hiệu ứng vật chất MSW (n_e là mật độ electron, G_F là hằng số Fermi):

Các hiệu bình phương khối lượng đo được: Δm²₂₁ ≈ 7,5×10⁻⁵ eV² (neutrino Mặt Trời, lò phản ứng) và |Δm²₃₂| ≈ 2,5×10⁻³ eV² (neutrino khí quyển, máy gia tốc).

D. Phân loại Wigner và nhãn Poincaré

Nhóm Poincaré là nhóm đối xứng của không-thời gian phẳng Minkowski, gồm 10 phần tử sinh:

Phần tử sinh	Số lượng	Ý nghĩa	Đại lượng bảo toàn
P^μ = (H, Pᵢ)	4	Tịnh tiến thời gian và ba trục không gian	Năng lượng, động lượng
Jᵢ	3	Quay quanh ba trục	Momen động lượng
Kᵢ	3	Boost, chuyển sang hệ chạy đều	Chuyển động khối tâm

Nhóm có đúng hai đại lượng bất biến Casimir; trên mỗi biểu diễn bất khả quy chúng là hằng số và cho ra khối lượng và spin (W là vectơ Pauli–Lubanski; dấu tùy quy ước):

Wigner (1939) dùng phương pháp biểu diễn cảm sinh: chọn một động lượng chuẩn trên mỗi mặt khối lượng, tìm nhóm con ổn định (little group) giữ nguyên nó, rồi dựng biểu diễn từ đó.

Quỹ đạo	Nhóm con ổn định	Nhãn	Hạt
m² > 0, năng lượng dương	SU(2)	m; s = 0, ½, 1, … (2s + 1 trạng thái)	electron, νᵢ, boson Higgs
m² = 0, năng lượng dương	ISO(2)	độ xoắn h = 0, ±½, ±1, …	photon
P = 0	toàn nhóm Lorentz	không có	chân không
m² < 0	SO(1, 2)	khối lượng ảo	không quan sát được

Với neutrino, mỗi νᵢ là một biểu diễn (mᵢ, s = ½), còn ν_e nằm trong tổng trực tiếp của ba biểu diễn ấy, nên không có cặp (m, s) đơn nhất:

Chồng chập các khối lượng khác nhau là được phép, khác với chồng chập các điện tích khác nhau vốn bị cấm (quy tắc siêu chọn lọc điện tích). Đó là lý do neutrino dao động được. Lưu ý khung này chỉ đúng chặt cho không-thời gian phẳng và cho trạng thái tiệm cận của hạt ổn định.